Yon sistèm ekwasyon lineyè aljebrik. Omojèn sistèm ekwasyon lineyè aljebrik

Nan lekòl la, chak nan nou etidye ekwasyon an ak pwobableman sistèm lan nan ekwasyon. Men, pa gen anpil moun ki konnen ke gen plizyè fason yo rezoud yo. Jodi a, nou wè egzakteman tout metòd yo pou rezoud yon sistèm ekwasyon lineyè aljebrik ki genyen plis pase de ekwasyon.

istwa

Jodi a nou konnen ke atizay la nan rezoud ekwasyon ak sistèm yo soti nan ansyen lavil Babilòn ak peyi Lejip. Sepandan, egalite nan fòm abitye yo parèt devan nou apre ensidan an nan siy ki egal "=", ki te prezante nan 1556 pa dosye matematisyen angle. By wout la, yo te senbòl sa a chwazi pou yon rezon ki fè: li vle di de paralèl segments egal-ego. Vreman vre, egzanp ki pi bon nan egalite pa vini.

Fondatè a nan écritures modèn ak senbòl nan limit enkoni, matematisyen nan franse Fransua Kwè. Sepandan, deziyasyon li yo se trè diferan de jodi a. Pou egzanp, yon kare nan yon nimewo unknown li deziyen pa lèt K a (lat "Quadratus".), Ak kib la - (. Lat "cubus") lèt C a. senbòl sa yo kounye a sanble alèz, men Lè sa a li te fason ki pi entwisyon yo ekri yon sistèm ekwasyon lineyè aljebrik.

Sepandan, yon dezavantaj nan metòd yo dominan nan solisyon te ke Matematisyen gen konsidere kòm sèlman rasin yo pozitif. Petèt sa a se akòz lefèt ke valè negatif pa gen okenn aplikasyon pratik. Youn nan fason oswa yon lòt, men premye a yo dwe konsidere kòm rasin negatif te kòmanse apre matematik yo Italyen Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ak Raphael Bombelli nan syèk la 16th. Yon gade modèn, metòd prensipal la nan rezoud ekwasyon kwadratik te (atravè diskriminan) te etabli sèlman nan 17yèm syèk la nan travay yo nan Descartes ak Newton.

Nan mitan an nan 18tyèm syèk matematisyen an Swis Gabriel Cramer jwenn yon nouvo fason fè solisyon an nan sistèm ekwasyon lineyè pi fasil. Metòd sa a te pita yo te rele dèyè l ', ak nan jou sa a nou sèvi ak li. Men, sou metòd la nan pale Kramer nan yon ti kras pita, men pou kounye a nou pral diskite sou ekwasyon lineyè ak solisyon yo jwenn yo apa nan sistèm nan.

ekwasyon lineyè

Lineyè Ekwasyon - ekwasyon an senp ak varyab (yo). Yo apatni a aljebrik la. ekwasyon lineyè ekri sou fòm la an jeneral jan sa a: yon ₁ * x ₁ + yon _{2 *} x + ₂ ... ak _n * x _n = b. Soumèt fòm sa a nou pral bezwen nan preparasyon an nan sistèm ak matris sou.

Yon sistèm ekwasyon lineyè aljebrik

Definisyon an nan tèm sa a se: yon seri ekwasyon ki gen inkonu komen ak solisyon an jeneral. Tipikman, nan lekòl tout Rezoud yon sistèm ki gen de oswa menm twa ekwasyon. Men, gen yon sistèm ki gen kat oswa plis konpozan. Se pou nou wè premye ki jan yo ekri yo desann se konsa ke pita li te pratik yo rezoud. Pwemyeman, sistèm lan nan ekwasyon lineyè aljebrik pral gade pi bon si tout varyab yo ap ekri tankou x ak endèks ki koresponn lan: 1,2,3 ak sou sa. Dezyèmman, li ta dwe mennen tout ekwasyon yo nan fòm nan kanonyal: yon ₁ * x ₁ + yon _{2 *} x ₂ + ... ak _N * x _n = b.

Apre yo tout etap sa yo, nou kapab kòmanse di nou ki jan yo jwenn solisyon an nan sistèm ekwasyon lineyè. Anpil pou ki pral vini an sou la men matris.

matris

Plan Disiplin-- yon tab ki gen ladan ranje ak kolòn, ak eleman li yo ki ap nan entèseksyon yo. Sa a sa yo kapab swa yon valè espesifik oswa varyab. Nan pifò ka, deziyen eleman ki yo ranje anba indices yo (egzanp, se yon ₁₁ oswa ₂₃ byen). Endèks la premye endike nimewo a ranje, ak dezyèm lan - kolòn nan. matris Pi wo pase kòm pi wo a ak nenpòt lòt eleman matematik ka fè operasyon divès kalite. Se konsa, ou kapab:

1) Fè soustraksyon epi ajoute gwosè nan menm nan tab la.

2) Miltipliye matris la nan nenpòt nimewo oswa vektè.

3) Tradwir: transfòme liy matris nan kolòn yo, ak kolòn yo - nan liy.

4) Miltipliye matris la, si ki kantite ranje ki egal a youn nan yo yon nimewo diferan nan kolòn.

Diskite sou an detay tout nan teknik sa yo, menm jan yo yo itil yo ak nou nan tan kap vini an. Soustraksyon ak adisyon nan matris se trè senp. Depi nou pran matris la menm gwosè, chak eleman nan yon sèl tab la se ki gen rapò ak chak eleman lòt. Se konsa, nou ajoute (soustraksyon) de nan eleman sa yo (li enpòtan yo ke yo te kanpe sou tè a menm nan matris yo). Lè miltipliye pa kantite matris oswa vektè ou tou senpleman miltipliye chak eleman nan matris la pa ke nimewo (oswa vektè). Transpozisyon - pwosesis trè enteresan. Trè enteresan pafwa yo wè l 'nan lavi reyèl, pou egzanp, lè w ap chanje oryantasyon an nan yon grenn ou telefòn. ikon yo sou Desktop a se yon matris, ak yon chanjman nan pozisyon, li se transpozabl ak vin pi laj, men diminye nan wotè.

Annou egzamine plis yon pwosesis tankou matris miltiplikasyon. Malgre ke li te di nou, epi se pa itil, men ou dwe konnen li se toujou itil. Miltipliye de matris kapab fèt sèlman anba kondisyon an ke nimewo a nan kolòn nan yon sèl tab la se egal a ki kantite ranje ak lòt. Koulye a, li pran yon sèl eleman matris liy ak lòt eleman nan kolòn ki koresponn lan. Nou anpil anpil pitit yo nan chak lòt ak Lè sa a sòm (dir, pou egzanp, yon pwodwi nan eleman ₁₁ ak ₁₂ ak nan ₁₂ b ak ₂₂ b yo pral egal a: yon * b _{11 12} + ₁₂ * b ak _22). Kidonk, se yon atik tab sèl, ak yon metòd ki sanble ak li plen pi lwen.

Koulye a, nou ka kòmanse yo konsidere kouman yo rezoud sistèm ekwasyon lineyè.

Gauss

Tèm sa a yo te kòmanse pran plas nan lekòl la. Nou konnen trè byen konsèp nan "sistèm nan de ekwasyon lineyè" ak konnen ki jan yo rezoud yo. Men, sa ki si kantite ekwasyon gen plis pouvwa pase de? Sa ap ede nou Gauss metòd.

Natirèlman, metòd sa a se pratik yo itilize, si ou fè yon matris nan sistèm lan. Men, ou pa ka konvèti li epi li deside sou pwòp li yo.

Se konsa, kouman yo rezoud li pa yon sistèm ekwasyon lineyè Gauss? By wout la, menm si metòd sa a epi yo te nonmen apre l ', men dekouvri l' nan tan lontan. Gauss gen yon operasyon te pote soti ak ekwasyon yo, nan evantyèlman rezilta nan ankèt la nan fòm sechlone. Sa se, ou bezwen tèt-desann (si kòrèkteman mete) soti nan premye moun ki ekwasyon ki sot pase a dekline youn enkoni. Nan lòt mo, nou bezwen asire w ke nou te gen, di, twa ekwasyon: premye a - twa inkonu, nan dezyèm lan - de nan twazyèm lan - yon sèl. Lè sa a, soti nan ekwasyon ki sot pase a, nou jwenn enkoni an premye, ranplase valè li yo nan dezyèm lan oswa ekwasyon an premye, ak plis jwenn rete de varyab yo.

règ Cramer a

Pou la devlopman nan teknik sa a se vital nan mèt konpetans yo nan adisyon, soustraksyon nan matris, osi byen ke bezwen an pou kapab jwenn detèminan. Se poutèt sa, si ou se alèz fè sa tout oswa pa konnen ki jan, li nesesè yo aprann yo epi yo dwe resevwa fòmasyon.

Ki sa ki se sans nan metòd sa a, ak ki jan yo fè sa, yo ka resevwa yon sistèm ekwasyon lineyè Cramer? Li trè senp. Nou bezwen bati yon matris nan nimewo (prèske toujou) Koefisyan yo nan yon sistèm ekwasyon lineyè aljebrik. Pou fè sa, tou senpleman pran nimewo a nan enkoni an, epi nou fè aranjman pou yon tab nan lòd la yo ke yo ap anrejistre nan sistèm nan. Si anvan nimewo a se yon siy "-", lè sa a nou ekri koyefisyan negatif. Se konsa, nou te fè matris la premye nan Koefisyan yo nan inkonu yo, men sa pa enkli nimewo a apre siy ki egal (nan kou, ki ekwasyon an gen yo dwe redwi a fòm nan kanonyal lè bò dwat la se jis yon nimewo, ak bò gòch la - tout inkonu yo ak Koefisyan). Lè sa a, ou bezwen fè yon matris kèk - yonn pou chak varyab. Pou rezon sa a, nan matris la premye se ranplase pa yon kolòn chak nimewo kolòn ak Koefisyan yo apre siy ki egal-ego. Se konsa, nou jwenn yon matris ak kèk Lè sa a, jwenn detèminan yo.

Apre nou jwenn kalifikasyon yo, li nan ki piti yo. Nou gen yon matris premye, e gen plizyè matris sòti, ki koresponn ak varyab diferan. Pou jwenn yon solisyon sistèm, nou divize detèminan an nan tablo a ki kapab lakòz sou detèminan nan prensipal nan tab la. Nimewo a ki kapab lakòz se valè a nan yon varyab. Menm jan an tou, nou jwenn tout inkonu yo.

lòt metòd

Gen plizyè metòd yo jwenn solisyon an nan sistèm ekwasyon lineyè. Pou egzanp, yon sa yo rele Gauss-lòt bò larivyè Jouden metòd, ki te itilize pou jwenn solisyon nan sistèm lan nan ekwasyon kwadratik, epi tou li gen rapò ak itilize nan matris. Genyen tou se yon metòd Jacobi pou rezoud yon sistèm ekwasyon lineyè aljebrik. Li fasil adapte li a tout òdinatè ak yo itilize nan informatique.

ka konplike

Konpleksite fèt anjeneral si kantite ekwasyon se mwens pase kantite varyab. Lè sa a, nou ka sètènman di ke, oswa sistèm nan se konsistan (sa vle di, pa gen okenn rasin), oswa nimewo a nan desizyon li yo gen tandans fè Infinity. Si nou gen ka, dezyèm lan - li se nesesè yo ekri solisyon an jeneral nan sistèm lan nan ekwasyon lineyè. Li pral gen ladan omwen yon varyab.

konklizyon

Isit la nou vini nan fen an. Pou rezime: nou gen a konprann ki sa sistèm matris la, aprann yo jwenn solisyon an jeneral nan yon sistèm ekwasyon lineyè. Anplis de sa nou konsidere kòm lòt chwa. Nou kalkile konnen kouman ou kapab rezoud sistèm ekwasyon lineyè: gosyen eliminasyon ak metòd Cramer a. Nou te pale de ka difisil ak lòt fason pou jwenn solisyon yo.

An reyalite, pwoblèm sa a se pi plis vaste, epi si ou vle pi byen konprann li, nou konseye w vin li plis nan literati a espesyalize yo.