Jewometrik pwogresyon. EGZANP nan desizyon

Konsidere yon ranje.

7 28 112 448 1792 ...

montre trè klè ke valè a nan nenpòt nan eleman li yo pi plis pase anvan egzakteman kat fwa yo. Se konsa, seri sa a se yon pwogresyon.

jeyometrik pwogresyon rele enfini sekans nan nimewo, karakteristik prensipal la nan ki se ke se nimewo ki anba la a yo jwenn nan pi wo a la pa miltipliye pa kèk nimewo defini. Sa a se eksprime pa fòmil ki anba la a.

_{yon z +1 = a z · q} , kote z - nimewo nan eleman a chwazi.

An konsekans, z ∈ N.

Li fikse lè lè lekòl la ap etidye jewometrik pwogresyon - 9yèm ane. Men kèk egzanp pral ede konprann konsèp la:

0.25 0.125 0,0625 ...

18 fevriye 6 ...

Baze sou ki fòmil sa a, pouvwa pwogresyon nan denominatè a ka jwenn jan sa a:

Ni _z q, oswa b pa kapab zewo. Epitou, chak nan eleman ki nan yon seri de nimewo pwogresyon pa ta dwe zewo.

An konsekans, yo wè nimewo a pwochen nan yon PO, miltipliye lèt la pa q.

Yo defini pwogresyon sa a, ou dwe presize eleman an premye nan li epi li denominatè a. Apre ke li se posib jwenn nenpòt nan manm sa yo ak kantite lajan yo.

espès

Tou depan de q la ak yon _1, se pwogresyon sa a divize an plizyè kalite:

• Si yon _1, ak q gen plis pouvwa pase yon sèl, Lè sa a, yon sekans - ogmante ak chak eleman siksesif nan yon pwogresyon jewometrik. Men kèk egzanp ladan l 'yo detaye pi ba a.

Egzanp: yon ₁ = 3, q = 2 - pi gran pase inite, tou de paramèt.

Lè sa a, ka yon sekans nan nimewo dwe ekri tankou:

3 6 12 24 48 ...

• Si | q | mwens pase yon, sa vle di, li se ekivalan a miltiplikasyon pa divizyon, pwogresyon an ak kondisyon ki sanble - diminye jewometrik pwogresyon. Men kèk egzanp ladan l 'yo detaye pi ba a.

Egzanp: yon ₁ = 6, q = 1/3 - yon ₁ se pi gran pase yon sèl, q - mwens.

Lè sa a, ka yon sekans nan nimewo dwe ekri jan sa a:

2 jen 2/3 ... - nenpòt eleman plis eleman yo li, se 3 fwa.

• Altène. Si q <0, siy ki montre yo nan nimewo ki nan altène nan sekans toujou ap kèlkeswa yon _1, ak eleman yo nan nenpòt ki ogmante oswa diminye.

Egzanp: yon ₁ = -3, q = -2 - tou de se mwens pase zewo.

Lè sa a, ka yon sekans nan nimewo dwe ekri tankou:

3, 6, -12, 24, ...

fòmil

Pou itilize pratik, gen anpil pwogresyon jewometrik nan fòmil yo:

• Fòmil z-th tèm. Li pèmèt kalkil la nan eleman an nan yon kantite espesifik san yo pa kalkile nimewo yo anvan yo.

Egzanp: q = 3, se yon = ₁ 4. oblije kalkile yon pwogresyon eleman katriyèm.

Solisyon: yon = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• sòm nan eleman yo an premye, ki gen nimewo ki egal a z. Li pèmèt kalkil la nan sòm total la nan tout eleman nan yon sekans nan yon enklizif _z.

≠ 0, konsa, q se pa 1 - (q 1) Depi (1- q) se nan denominatè a, lè sa a.

Remake byen: si q = 1, Lè sa a, pwogresyon an ta te reprezante yon kantite infiniman repete nimewo a.

Kantite lajan exponentielle egzanp: yon ₁ = 2, q = -2. Kalkile S _5.

Solisyon: S ₅ = 22 - fòmil kalkil.

• Kantite lajan si | q | <1 ak lè z gen tandans fè Infinity.

Egzanp: yon ₁ = _2, q = 0.5. Jwenn sòm total la.

Solisyon: S _z = 2 x = 4

Si nou kalkile sòm total la nan manm plizyè nan manyèl la, ou pral wè ke li se tout bon angaje nan kat.

S _z = 1 + 2 + 0.5 + 0.25 + 0,125 + 0,0625 = 3.9375 4

Gen kèk pwopriyete:

• Yon pwopriyete karakteristik. Si kondisyon sa a Lwa sa a bay pou nenpòt ki z, lè sa a bay yon seri nimerik - yon pwogresyon jewometrik:

yon _z ² = Yon _{z -1} · Yon _{z + 1}

• Li se tou kare a nan nenpòt ki kantite se exponentielle pa vle di nan de sa nan kare yo nan de lòt nimewo yo nan nenpòt ranje yo bay yo, si yo ekidistan parapò ak eleman an.

² yon _z = yon _{z - t} ² ₊ yon _z + _t ² kote T - distans ki genyen ant nimewo sa yo.

• Eleman yo diferan selon fwa q.
• logaritm yo nan eleman ki nan pwogresyon kòm byen fòme yon pwogresyon, men aritmetik a, se sa ki, chak nan yo plis pase yon sèl anvan an pa yon nimewo sèten.

Men kèk egzanp sou kèk pwoblèm klasik

Pi byen konprann ki sa yon pwogresyon jewometrik, ak egzanp yo pran desizyon pou klas 9 ka ede w.

• Tèm ak Kondisyon yo: yon ₁ = 3, yon ₃ = 48. Jwenn q.

Solisyon: chak eleman siksesif nan plis pase q anvan an tan. Li nesesè yo eksprime kèk eleman nan lòt atravè denominatè.

Kontinwe, yon ₃ = q ² · yon ₁

Lè ranplase q = 4

• Kondisyon: yon ₂ = 6, se yon = ₃ 12. Kalkile S _6.

Solisyon: Pou fè sa, li sifizan yo jwenn q, eleman nan premye ak ranplasan an fòmil la.

yon ₃ = q · yon _2, kidonk, q = 2

yon ₂ = q • Yon _1, se konsa yon = ₁ 3

S = ₆ 189

• • Yon ₁ = 10, q = -2. Jwenn eleman nan katriyèm nan pwogresyon.

Solisyon: li se ase yo eksprime eleman nan katriyèm nan premye a ak nan denominatè a.

₄ yon ³ = q · yon = ₁ -80

Aplikasyon egzanp:

• gen kliyan Bank kontribye sòm total la nan 10,000 rubles, anba ki chak ane ap kliyan an nan kantite lajan direktè lekòl la dwe ajoute 6% nan li menm si. Ki kantite lajan se nan kont lan apre 4 ane?

Solisyon: Kantite lajan an premye egal a 10 mil rubles. Se konsa, yon ane apre envèstisman yo nan kont la pral kantite lajan an egal a 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06

An konsekans, kantite lajan an nan kont lan menm apre pral yon ane dwe manifeste jan sa a:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1.06 · 10000

Sa se, chak ane kantite lajan an ogmante nan 1.06 fwa. Pakonsekan, yo jwenn nimewo a nan kont lan apre 4 ane, li sifizan yo jwenn yon pwogresyon katriyèm eleman, ki se bay premye eleman egal a 10 mil, ak denominatè a egal a 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

Men kèk egzanp sou pwoblèm nan kalkil la nan sòm total la nan:

Nan pwoblèm divès kalite lè l sèvi avèk jewometrik pwogresyon. pouvwa Yon egzanp pou jwenn sòm total la dwe mete jan sa a:

yon ₁ = 4, q = 2, kalkile S _5.

Solisyon: tout done ki nesesè pou kalkil la yo li te ye, tou senpleman ranplase yo nan fòmil la.

S ₅ = 124

• yon ₂ = 6, se yon = ₃ 18. Kalkile sòm total la nan sis premye eleman yo.

solisyon:

Geom la. pwogrè a nan chak eleman nan pi gwo nan pwochen te pase fwa yo q anvan, se sa ki, nan kalkile kantite lajan an ou bezwen konnen eleman nan yon ₁ ak q nan denominatè.

yon ₂ · q = yon ₃

q = 3

Menm jan tou, bezwen an jwenn yon _1, se yon ₂ ak Lè ou konnen q.

yon ₁ · q = yon ₂

yon ₁ = 2

Lè sa a, li sifizan pran plas done yo li te ye nan kantite lajan an fòmil.

S ₆ = 728.