Lineyè ak omojèn diferans ekwasyon nan lòd la an premye. egzanp nan solisyon

Mwen panse ke nou ta dwe kòmanse avèk istwa a nan zouti nan bèl pouvwa matematik kòm ekwasyon diferans. Tankou tout diferans lan ak kalkil matematik entegral, ekwasyon sa yo yo te envante pa Newton nan syèk la byen ta nan 17th. Li te kwè li te dekouvèt l 'tèlman enpòtan ke menm mesaj la chiffres, ki jodi a ka tradui jan sa a: ". Tout lwa yo nan lanati dekri nan ekwasyon diferans" Li pouvwa sanble yon egzajerasyon, men li la vre. Nenpòt lwa nan fizik, chimi, biyoloji, ka dekri nan ekwasyon sa yo.

Yon kontribisyon menmen nan devlopman ak kreyasyon teyori a nan ekwasyon diferans gen matematik nan Euler ak Lagrange. Deja nan 18tyèm syèk la yo te dekouvri epi li devlope sa se kounye a etidye nan kou yo inivèsite granmoun aje yo.

Yon nouvo etap enpòtan nan etid la nan ekwasyon diferans te kòmanse gras a Anri Puankare. Li te kreye yon "kalitatif teyori nan ekwasyon diferans", ki, konbine avèk teyori a nan fonksyon nan varyab konplèks kontribye anpil nan fondasyon an nan topolojik - syans nan espas ak pwopriyete li yo.

Ki sa ki ekwasyon diferans?

Anpil moun yo pè pou yo fraz la "diferans ekwasyon". Sepandan, nan atik sa a nou pral mete deyò nan detay sans nan zouti sa a trè itil matematik ki se aktyèlman pa tankou konplike tankou li sanble soti nan tit la. Yo nan lòd yo kòmanse pale sou yon diferans ekwasyon premye-lòd, ou dwe premye jwenn konnen ak konsèp debaz yo ke yo natirèlman ki asosye avèk definisyon sa a. Epitou, n ap kòmanse ak diferans lan.

diferans

Anpil moun konnen tèm sa a depi lekòl segondè. Sepandan, toujou rete sou li an detay. Imajine graf la nan fonksyon an. Nou ka ogmante li a tankou yon limit ke nenpòt nan segman li yo vin tounen yon liy dwat. Li pral pran de pwen ki enfiniman fèmen nan youn ak lòt. Diferans ki genyen ant kowòdone yo (x oswa y) se infiniman. Epi li rele diferans ak karaktè deziyen dy (diferans nan y) ak DX (diferans lan nan x). Li enpòtan ke ou konprann ke diferans lan se pa valè a ultim, ak sa a se siyifikasyon an ak fonksyon prensipal la.

Epi, koulye a ou dwe konsidere eleman sa yo, ki nou pral bezwen eksplike konsèp la diferans ekwasyon. Li - derive.

derive

Tout moun nan nou dwe te tande nan lekòl la ak nosyon sa a. Yo di ke derive a - se to a nan kwasans oswa diminye nan fonksyon an. Sepandan, definisyon sa a vin pi konfizyon. Se pou nou eseye eksplike kondisyon ki derive nan diferans yo. Se pou nou tounen nan fonksyon an infiniman entèval ak de pwen, ki fè yo chita nan yon distans minimòm soti nan chak lòt. Men, menm pi lwen pase sa a fonksyon distans se tan chanje nan kèk valè. Men, dekri ke chanjman e yo vini ak yon derive ki ta dwe ekri tankou rapò a nan diferans yo: f (x) '= df / DX.

Koulye a, li nesesè yo konsidere pwopriyete debaz yo nan derive a. Gen sèlman twa:

1. ka derive sòm oswa diferans lan dwe reprezante kòm sòm total la oswa diferans nan dérivés yo: (a + b) '= yon' + b ', ak (ab)' = a'-b '.
2. Se pwopriyete a dezyèm konekte ak miltiplikasyon. travay derive - se sòm total la nan travay yo nan yon fonksyon nan yon lòt derive: (a * b) '= yon' * b + yon * b '.
3. ka derive a nan diferans lan dwe ekri tankou ekwasyon ki anba la a: (a / b) '= (yon' * ba * b ') / b ^2.

Tout karakteristik sa yo vini an sou la men pou jwenn yon solisyon ak diferans ekwasyon nan lòd la an premye.

Epitou, gen dérivés yon pati nan. Sipoze nou gen yon fonksyon nan z an, ki depann sou varyab x yo ak y. Pou kalkile derive an pati ki nan sa a fonksyon, pou egzanp, nan x, nou bezwen pran y plase pou konstan ak fasil yo diferansye.

entegral

Yon lòt konsèp enpòtan - entegral. An reyalite li se opoze a nan derive. Entegral plizyè kalite, men solisyon yo yo te pi senp ekwasyon diferans, nou bezwen pi trivial entegral yo endefini.

Se konsa, ki sa ki entegral a? Se pou nou di nou gen kèk relasyon f nan x. Nou pran soti nan li entegral nan ak jwenn yon F fonksyon (x) (li se souvan refere yo kòm yon primitif), ki se yon derive nan fonksyon orijinal la. Se poutèt sa F (x) '= f (x). Sa a tou implique ke entegral nan derive a se egal a fonksyon orijinal la.

Nan rezoud ekwasyon diferans li se trè enpòtan ke ou konprann siyifikasyon an ak fonksyon nan entegral a, depi trè souvan dwe pran yo jwenn solisyon yo.

ekwasyon yo se diferan depann sou nati yo. Nan seksyon nan pwochen nou pral gade nan kalite ekwasyon premye lòd diferans, ak Lè sa aprann kouman yo rezoud yo.

Klas ekwasyon diferans

"Diffury" divize pa lòd nan dérivés patisipe nan yo. Se konsa, gen yon lòd premye, dezyèm, twazyèm oswa pi plis. Yo kapab tou gen pou divize an plizyè klas: òdinè ak yon pati nan.

Nan atik sa a, n ap konsidere ekwasyon yo diferans òdinè nan lòd la an premye. Men kèk egzanp ak solisyon nou diskite nan seksyon sa yo. Nou konsidere sèlman TAC a paske li se kalite ki pi komen nan ekwasyon. Òdinè divize an subspecies: ak varyab séparable, omojèn ak heterogeneous. Next ou pral aprann ki jan yo diferan de youn ak lòt, pou aprann kijan pou rezoud yo.

Anplis de sa, ekwasyon sa yo ka konbine, se konsa ke apre nou jwenn yon sistèm ekwasyon diferans nan lòd la an premye. sistèm sa yo, nou menm tou nou gade nan pou aprann kijan pou rezoud.

Poukisa nou ap konsidere sèlman lòd la an premye? Paske li se nesesè yo kòmanse avèk yon senp ak dekri tout ki asosye ak ekwasyon diferans, nan yon atik nan yon sèl li se enposib.

Ekwasyon ak varyab séparable

Sa a se petèt pi senp premye ekwasyon yo lòd diferans. Sa yo se egzanp ki ka ekri tankou: y '= f (x) * f (y). Pou rezoud ekwasyon sa a nou bezwen fòmil la reprezantasyon nan derive a kòm rapò a nan diferans yo: y '= dy / DX. Avèk li nou jwenn ekwasyon an: dy / DX = f (x) * f (y). Koulye a, nou ka ale nan metòd la nan rezoud egzanp estanda: separe varyab yo nan pati, sa vle di vit pou pi devan tout y la varyab nan pati a kote ki gen dy, epi tou li fè x la varyab ... Nou jwenn yon ekwasyon nan fòm nan: dy / F (y) = f (x) DX, ki se reyalize pa pran entegral yo nan de pati pyès sa yo. pa bliye sou konstan nan ke ou vle mete apre entegrasyon.

Solisyon an nan nenpòt ki "diffura" - se yon fonksyon nan x pa y (nan ka nou an), oswa si gen se yon kondisyon nimerik, repons lan se yon nimewo. Annou egzamine yon egzanp konkrè kou a tout antye de desizyon an:

y '= 2y * peche (x)

Transfè varyab yo nan diferan direksyon:

dy / y = 2 * peche (x) DX

Koulye a, pran entegral yo. Tout moun nan yo ka jwenn nan yon tab espesyal nan entegral. Apre sa, nou jwenn:

LN (y) = -2 * cos (x) + C

Si sa nesesè, nou ka eksprime "y la" kòm yon fonksyon nan "X". Koulye a, nou ka di ke se ekwasyon diferans nou an rezoud, si se pa espesifye kondisyon. Èske yo kapab espesifye kondisyon, pou egzanp, y (n / 2) = e. Apre sa, nou pwal tou senpleman ranplase valè a nan sa yo varyab nan desizyon an epi jwenn valè a nan konstan nan. Nan egzanp nou an, li se 1.

Omojèn lòd premye diferans ekwasyon

Koulye a, sou pati pyès sa yo pi konplike. Omojèn premye ekwasyon lòd diferans ka ekri nan fòm jeneral tankou: y '= z (x, y). Li ta dwe remake ke moun ki fonksyon an dwa nan de varyab se inifòm, epi li pa ka ap divize an de depann sou: z x ak z nan y. Tcheke si ekwasyon an se omojèn oswa ou pa, se byen senp: nou fè sibstitisyon x = k * x la ak y = k * y. Koulye a, nou koupe tout k. Si lèt sa yo yo tonbe, Lè sa a, ekwasyon an omojèn epi yo ka san danje ale nan solisyon li yo. Gade devan, nou di: prensip la nan solisyon an nan egzanp sa yo tou se trè senp.

Nou bezwen fè sibstitisyon a: y = t (x) * x, kote T - yon fonksyon ki tou depann sou x. Apre sa, nou ka eksprime derive nan: y '= t' (x) * x + t. Ranplase tout bagay sa a nan ekwasyon orijinal nou yo ak senplifye li, nou gen egzanp lan nan separasyon an nan varyab t kòm x. Rezoud li ak jwenn depandans a nan t (x). Lè nou te resevwa li, tou senpleman ranplase anvan nou sibstitisyon y = t (x) * x. Lè sa a, nou jwenn depandans nan y sou x.

Pou fè li pi klè, nou p'ap konprann yon egzanp: x * y '= Yx * e y / x.

Lè w ap tcheke ranplasman an nan tout dekline. Se konsa, ekwasyon an se reyèlman omojèn. Koulye a, fè yon lòt sibstitisyon, nou te pale osijè de: y = t (x) * x ak y '= t' (x) * x + t (x). Apre senplifikasyon ekwasyon sa a: t '(x) * x = -e t. Nou deside yo ka resevwa yon echantiyon ak varyab separe e nou ^{jwenn: e -t = LN (C *} x). Nou jis bezwen ranplase t pa y / x (paske si y = t * x, lè sa a t = y / x), e nou jwenn ^{repons lan: e-y / x = LN (} x * C).

Lineyè diferans ekwasyon nan lòd nan premye

Li lè yo konsidere yon lòt sijè gwo. Nou pral gade heterogeneous premye-lòd ekwasyon diferans. Ki jan yo diferan de de an anvan? Ann figi l '. Lineyè ekwasyon premye lòd diferans nan fòm la an jeneral nan ekwasyon an ka ekri konsa: y '+ g (x) * y = z (x). Li ta dwe klarifye ke z (x) ak g (x) pouvwa gen valè konstan.

Isit la nan yon egzanp: y '- y * x = x ^2.

Gen de fason yo rezoud, epi nou lòd Annou egzamine yonn bay lòt. Premye a - metòd la nan varyasyon nan konstan abitrè.

Pou rezoud ekwasyon an nan fason sa a, li se nesesè yo egalize premye bò men dwat-ou a zewo, ak rezoud ekwasyon an ki kapab lakòz ki apre transfè a nan pati vin:

y '= y * x;

dy / DX = y * x;

dy / y = xdx;

LN | y | = x ^2/2 + C;

y = ^x2 e ^{/ 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Koulye a, li se nesesè yo ranplase konstan C a ₁ sou v an fonksyon (x), ki nou pral jwenn.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Trase yon derive ranplasman:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Apre sa, ranplase ekspresyon sa yo nan ekwasyon orijinal la:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ou ka wè ke nan bò gòch nan de tèm yo ap redwi. Si gen kèk egzanp ki pa t 'rive, lè sa a ou te fè yon move bagay. Nou kontinye:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Koulye a, nou rezoud ekwasyon an abityèl nan kote ou vle separe varyab yo:

DV / DX = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- x2 / 2} do.

Pou retire entegral a, nou gen pou aplike pou entegrasyon an pa pati isit la. Sepandan, sa a se pa sijè sa a nan atik sa a. Si w ap enterese, ou ka aprann sou pwòp yo pote soti nan aksyon sa yo. Li se pa difisil, ak ase konpetans ak swen se pa tan konsome.

An referans a metòd, dezyèm lan solisyon an nan ekwasyon yo omojèn: Metòd Bernoulli. Ki sa ki apwòch se pi vit ak pi fasil - li a jiska ou.

Se konsa, lè rezoud metòd sa a, nou bezwen fè sibstitisyon a: y = k * n. Isit la, k ak n - kèk fonksyon depann sou x. Lè sa a, derive la ap gade tankou: y '= k' * n + k * n '. Ranplase de sibstitisyon nan ekwasyon an:

k '* n + k * N ' + x * k * n = x ^2.

Gwoup moute:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Koulye a, li se nesesè yo egalize a zewo, se sa ki nan parantèz. Koulye a, si ou konbine de ekwasyon yo ki kapab lakòz, nou jwenn yon sistèm ekwasyon diferans lòd premye dwe rezoud:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

egalite nan premye deside ki jan ekwasyon an dabitid. Pou fè sa, ou bezwen separe varyab yo:

dn / DX = x * v;

dn / n = xdx.

Nou pran entegral la epi nou jwenn: LN (n) = x ^2/2. Lè sa a, si nou eksprime N:

n = e ^{x2 / 2.}

Koulye a, ranplase ekwasyon an ki kapab lakòz nan ekwasyon an dezyèm:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ak transfòme, nou jwenn ekwasyon an menm jan ak nan metòd an premye:

PK = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Nou menm tou nou pa pral diskite sou plis aksyon. Li te di ke nan premye ekwasyon diferans premye lòd solisyon lakòz difikilte konsiderab. Sepandan, yon imèsyon pi fon nan sijè sa a se kòmanse jwenn pi bon ak pi bon.

Ki kote yo ekwasyon diferans?

ekwasyon trè aktif diferans yo itilize nan fizik, kòm prèske tout lwa debaz yo ekri nan fòm diferans, ak moun fòmil, ke nou wè - yon solisyon nan ekwasyon sa yo. Nan chimi, yo yo te itilize pou menm rezon an: lwa debaz yo sòti nan yo. Nan biyoloji, ekwasyon yo diferans yo te itilize yo modle konpòtman an nan sistèm, tankou predatè - bèt. Yo kapab tou gen pou itilize yo kreye modèl nan repwodiksyon, pou egzanp, koloni nan mikwo-òganis.

Kòm ekwasyon diferans ede nan lavi?

Repons lan nan kesyon sa a se senp: pa gen anyen. Si ou pa yon syantis oswa enjenyè, li se fasil yo ke yo pral itil. Sepandan, se pa fè mal yo konnen ki sa ekwasyon an diferans epi li se rezoud pou devlopman la an jeneral. Lè sa a, kesyon an nan yon pitit gason oswa pitit fi, "ki sa yon ekwasyon diferans?" pa mete ou nan yon fen mouri. Oke, si ou se yon syantis oswa enjenyè, lè sa a ou konnen enpòtans ki genyen nan sijè sa a nan nenpòt ki syans. Men, ki pi enpòtan, ke kounye a nan kesyon an "kouman yo rezoud ekwasyon an diferans nan lòd la an premye?" ou ap toujou kapab bay yon repons. Mwen dakò, li se toujou bèl lè ou reyalize ke sa moun yo menm pè yo jwenn deyò.

pwoblèm prensipal yo nan etid la

Pwoblèm prensipal nan konpreyansyon nan sijè sa a se yon abitid move nan entegrasyon ak diferansyasyon fonksyon. Si ou se alèz asime dérivés ak entegral, li se pwobableman vo pi plis pou aprann, pou yo aprann diferan metòd nan entegrasyon ak diferansyasyon, epi sèlman Lè sa a, kontinye nan etid la nan materyèl la ki te dekri nan atik la.

Genyen kèk moun ki etone aprann ka ki DX dwe transfere, jan yo te (nan lekòl) te diskite ke fraksyon dy / DX a se endivizib. Lè sa a, ou bezwen li literati a sou derive a epi mwen konprann ke li se atitid la nan kantite enfiniman piti, ki ka manipile nan rezoud ekwasyon.

Anpil moun pa imedyatman reyalize ke solisyon an nan ekwasyon diferans nan lòd nan premye - sa a se souvan yon fonksyon oswa neberuschiysya entegral, ak awogans sa a ba yo yon anpil nan pwoblèm.

Ki lòt bagay ka etidye nan pi bon konprann?

Li se pi bon yo kòmanse plis imèsyon nan mond lan nan diferans kalkil matematik nan liv espesyalize, pou egzanp, nan analiz matematik pou elèv nan espesyalite ki pa matematik. Ou ka Lè sa a, deplase li nan yon literati nan plis espesyalize yo.

Li te di ke, nan adisyon nan diferans lan, gen toujou ekwasyon entegral, kidonk, ou ap toujou gen yon bagay yo fè efò pou ak sa yo dwe etidye.

konklizyon

Nou espere ke apre ou fin li atik sa a ou pral gen yon lide de sa ekwasyon yo diferans ak kouman yo rezoud yo kòrèkteman.

Nan nenpòt ka, matematik nan nenpòt fason itil nan nou nan lavi. Li devlope lojik ak atansyon, san yo pa ki chak moun, kòm san yo pa men.