Maclaurin ak dekonpozisyon nan kèk fonksyon

Etidye matematik avanse ta dwe konnen ke sòm total la nan yon seri pouvwa nan entèval la nan dirèksyon nan yon kantite nou, se yon nimewo kontinyèl ak san limit nan fwa yon fonksyon différenciés. Kesyon an rive: se li posib yo diskite ke bay yon abitrè fonksyon f (x) - se sòm total la nan yon seri pouvwa? Sa se, nan ki kondisyon ka f-lakòz estrès (x) f la dwe reprezante pa yon seri pouvwa? Enpòtans ki genyen nan pwoblèm sa a se ke li se posib yo ranplase apeprè £ Théologie f (x) se sòm total la nan premye tèm yo kèk nan yon seri pouvwa a, ki se yon polinòm. Tankou yon fonksyon ranplasman se byen senp ekspresyon - polinòm - se pratik ak nan rezoud pwoblèm sèten nan analiz matematik, sètadi nan rezoud entegral lè yo kalkilte ekwasyon diferans , elatriye ...

Li se pwouve, ki pou kèk f-ii f (x), kote dérivés yo nan (n + 1) lòd la th ka ap kalkile, ki gen ladan dènye a nan vwazinaj la nan (α - R; x ₀ + R) nan yon pwen x = α jis fòmil se:

se sa a fòmil rele apre syantis la pi popilè Brooke Taylor. Yon kantite ki se sòti nan yon sèl anvan an, ki rele yon seri Maclaurin:

Yon règ ki fè li posib yo pwodwi ekspansyon nan yon seri Maclaurin:

1. Detèmine dérivés nan premye, dezyèm, twazyèm, ... lòd.
2. Kalkile ki sa yo dérivés nan x = 0.
3. Dosye Maclaurin seri pou sa a fonksyon, ak Lè sa a, detèmine entèval la nan dirèksyon.
4. Detèmine entèval (-R; R), kote pati a rezidyèl nan fòmil Maclaurin

R _N (x) -> 0 pou n -> Infinity. Si youn egziste, li fonksyon f (x) dwe egal a sòm total la nan seri a Maclaurin.

Konsidere kounye a seri a Maclaurin pou fonksyon yo endividyèl elèv yo.

1. Se konsa, premye a yo dwe f (x) = e ^x. Natirèlman, ki karakteristik yo se konsa f-bi te sòti yon varyete de lòd, ak f ^{(k) (x)} = e ^x, kote k ki egal a tout nimewo yo natirèl. Ranplase x = 0. Nou jwenn f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Baze sou ki ekri pi wo a, yon kantite e ^x Li pral jan sa a:

2. Maclaurin seri pou fonksyon f (x) = peche x. Menm lè presize ke f-lakòz estrès pou tout dérivés unknown pral gen, san konte f ^'(x) = cos x = peche (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = peche (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = peche (x + N * k / 2), kote k ki egal a nenpòt ki nonb antye relatif pozitif. Sa se, fè kalkil senp, nou ka konkli ke seri a pou f (x) = peche x yo pral tankou sa a:

3. Koulye a, kite a konsidere iju f-f (x) = cos x. Li se enkoni pou tout dérivés nan lòd abitrè, ak ^{| f (k) (x)} | = | Kòs (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Yon fwa ankò, li li te gen te fè kèk kalkil, nou jwenn ke seri a pou f (x) = cos x pral gade tankou sa a:

Se konsa, nou te ki nan lis karakteristik yo ki pi enpòtan ki ka elaji nan yon seri Maclaurin, men yo konplete seri a Taylor pou kèk fonksyon. Koulye a, nou ap gen lis yo kòm byen. Li ta dwe tou dwe te note ke Taylor seri ak seri Maclaurin se yon pati enpòtan nan seri a atelye nan desizyon nan pi wo matematik. Se konsa, Taylor seri.

1. Premye a se yon seri de f-ii f (x) = LN (1 + x). Kòm nan egzanp yo anvan, pou sa a nou f (x) = LN (1 + x) ka se pou yo pliye yon nimewo, lè l sèvi avèk fòm la an jeneral nan seri Maclaurin. men pou karakteristik sa a Maclaurin ka jwenn pi fasil. Entegre yon seri jewometrik, nou jwenn yon nimewo pou f (x) = LN (1 + x) nan echantiyon an:

2. Men dezyèm nan, ki pral final la nan atik sa a, pral gen yon seri pou f (x) = arctg x. Pou x sa ki nan entèval an [-1, 1] se dekonpozisyon valab:

Sa a tout. Nan atik sa a mwen te fè sondaj seri a Taylor ki pi itilize ak seri Maclaurin nan pi wo matematik, patikilyèman nan kolèj yo ekonomik ak teknik.