Diferansyèl kalkil matematik nan fonksyon nan yon sèl ak varyab plizyè

Diferansyèl kalkil matematik se yon branch nan analiz matematik, ki examines derive nan, diferans ak sèvi ak yo nan etid la nan fonksyon.

Istwa a nan

Diferansyèl kalkil matematik parèt kòm yon disiplin endepandan nan dezyèm mwatye nan 17yèm syèk la, gras a travay la nan Newton ak Leibniz, ki moun ki formul dispozisyon ki debaz yo genyen nan kalkil la nan diferans ak remake koneksyon ki genyen ant entegrasyon ak diferansyasyon. Depi disiplin li devlope ansanm ak kalkil la nan entegral, kidonk Constituent baz la nan analiz la matematik. Aparans nan kalkul sa yo louvri yon nouvo peryòd modèn nan mond lan matematik ak koze Aparisyon nan disiplin nouvo nan syans. Epitou pwolonje posibilite pou aplike matematik nan syans natirèl ak jeni.

konsèp debaz

se Diferansyèl kalkil matematik ki baze sou konsèp yo fondamantal nan matematik. Yo yo se: yon PO reyèl, kontinwite ak limit nan fonksyon. Apre yon tan, yo te pran yon gade modèn, gras a kalkil matematik nan entegral ak diferans.

Pwosesis la nan kreye pi

Fòmasyon nan kalkil matematik nan diferans nan fòm lan nan yon aplikasyon, ak Lè sa a metòd syantifik te fèt anvan Aparisyon nan teyori filozofik, ki te kreye pa Nikolay Kuzansky. Se travay li te konsidere kòm yon devlopman evolisyonè nan syans nan ansyen nan jijman. Malgre lefèt ke filozòf la tèt li pa t 'yon matematisyen, kontribisyon li nan devlopman an nan syans matematik se nye. Cusa, youn nan soti nan premye nan konsiderasyon nan aritmetik kòm syans ki pi egzak, matematik mete tan an nan kesyon an.

Nan Matematisyen ansyen kritè inivèsèl te yon inite, pandan y ap filozòf la pwopoze kòm yon Infinity mezi nouvo retounen nimewo a egzak. An koneksyon avèk sa a reprezantasyon Envèse nan presizyon nan syans matematik. konesans syantifik, nan gade l 'yo, se divize an rasyonèl ak entelijan. Dezyèm nan se pi egzak, selon syantis la, depi ansyen an bay sèlman rezilta apwoksimatif.

lide

Lide a debaz ak konsèp nan kalkil matematik diferans ki asosye ak fonksyon an nan yon ti katye nan pwen sèten. Pou sa li nesesè yo kreye yon aparèy matematik fonksyone syans ki gen konpòtman nan yon ti katye nan pwen enstale fèmen nan konpòtman an nan yon fonksyon lineyè oswa yon polinòm. Baze sou sa a definisyon nan derive ak diferans.

Aparisyon nan konsèp nan derive nan te koze pa yon gwo kantite pwoblèm nan syans natirèl ak matematik, ki te mennen nan detèminasyon an nan valè limit nan kalite la menm.

Youn nan travay prensipal yo ke yo bay kòm yon egzanp, kòmanse ak klas yo lekòl pi ansyen, se detèmine vitès la nan mouvman nan yon pwen nan yon liy dwat ak konstriksyon an nan jwèt la tanjant sa a koub. diferans lan lye nan sa a, depi li se posib yo apwoksimatif fonksyon an nan yon ti katye nan pwen an nan yon fonksyon lineyè.

Konpare ak konsèp nan derive nan yon fonksyon nan yon varyab reyèl, definisyon an nan diferans tou senpleman pase sou fonksyon an nan lanati jeneral, an patikilye imaj la nan yon espas eklidyen nan yon lòt.

derive

Se pou mouvman yo pwen nan yon direksyon ki nan aks-y la, pou tan an nou pran x, ki se mezire distans ant de nan konmansman an nan yon moman. Dekri tankou yon mouvman se posib pa fonksyon y = f (x), ki se asosye nan chak x pwen tan kowòdone yo ka deplase pwen. Sa a rele fonksyon nan mekanik yo pran lwa nan mouvman. karakteristik nan prensipal nan mouvman an, patikilyèman inegal, se vitès la Enstantane. Lè yo pwen an demenaje ale rete ansanm aks-y la dapre lalwa a nan mekanik, pwen nan tan o aza li achte kowòdone x f (x). Nan tan an pwen x + Δh, kote Δh reprezante kantite a nan tan, li pral kordinaty f (x + Δh). Se konsa fòme fòmil Δy = f (x + Δh) - f (x), ki te rele yon fonksyon kantite. Li se yon pwen nan chemen an travèse pandan tan an soti nan X yo x + Δh.

An koneksyon avèk ensidan an nan vitès la nan moman derive se administre. derive a nan nenpòt ki fonksyon nan yon pwen fiks rele limit la (an konsideran li egziste). Li kapab refere yo bay karaktè sèten:

f '(x), y', Y, df / DX, dy / DX, DF (x).

Pwosesis la nan kalkile derive nan diferansyasyon apèl.

Diferansyèl kalkil matematik nan fonksyon nan plizyè varyab

Metòd sa a se aplike lè yo kalkilte etid fonksyon, plizyè varyab. Lè gen de varyab x ak y, derive an pati ki ki gen rapò ak x an Yon nan pwen yo rele derive a nan sa a fonksyon nan x ak yon y fiks yo.

Yo ka endike nan senbòl sa yo:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x ak ∂f (x, y) '/ ∂x.

abilite ki nesesè

Yo nan lòd yo avèk siksè aprann yo epi yo dwe kapab rezoud diffury abilite ki nesesè nan entegrasyon ak diferansyasyon. Pou fè li pi fasil yo konprann ekwasyon yo diferans, yo dwe konprann sijè derive ak endefini entegral. Epitou pa fè mal pou aprann gade pou derive nan fonksyon an enplisit. Sa a se akòz lefèt ke nan pwosesis la pou yo aprann pral souvan itilize entegral ak diferansyasyon.

Kalite ekwasyon diferans

Pwatikman tout travay la kontwòl ki asosye avèk ekwasyon yo diferans premye lòd, gen 3 kalite ekwasyon: omojèn, ak varyab séparable, lineyè omojèn.

Genyen tou espès plis ra ekwasyon ak diferans total, ekwasyon Bernoulli an, ak lòt moun.

fondamantal solisyon

Pou kòmanse, nou ta dwe sonje se ekwasyon aljebrik nan yon kou lekòl la. Yo genyen ladan yo varyab yo ak nimewo. Yo nan lòd yo rezoud ekwasyon an konvansyonèl ta dwe jwenn anpil nan nimewo ki satisfè yon kondisyon espesifye. Tipikman, ekwasyon sa yo gen yon sèl rasin, ak pou validation ta dwe sèlman ranplase sa a valè nan enkoni plas.

ekwasyon an diferans se menm jan ak sa a. An jeneral, yon ekwasyon nan lòd nan premye konprann:

• varyab endepandan.
• Yon derive nan fonksyon la an premye.
• Fonksyon oswa varyab depandan.

Nan kèk ka, gen pouvwa pou pa gen yon sèl sèks, x oswa y, men li se pa enpòtan menm jan li nesesè gen derive an premye, ki pa gen okenn pi wo dérivés lòd yo solisyon an ak kalkil matematik nan diferans te vre wi.

Rezoud ekwasyon an diferans - sa vle di yo jwenn sou la nan tout fonksyon ki apwopriye ekspresyon bay yo. kouche sa yo nan fonksyon se souvan yo rele jeneral kontwòl nan solisyon an.

entegral kalkil matematik

Entegral kalkil matematik se youn nan seksyon yo ki nan analiz matematik, ki examines konsèp nan entegral, pwopriyete ak metòd nan kalkil li yo.

Anpil fwa kalkil la nan entegral a rive lè yo kalkilte zòn nan nan yon fòm courbe. Lè sa a vle di yon zòn limit, nan direksyon pou ki ka yon zòn Predetermined nan fòm nan poligòn enskri ak yon ogmantasyon gradyèl nan men l ', ak bò kòt nan done dwe fèt mwens pase nenpòt deja espesifye valè abitrè piti.

Lide prensipal nan kalkil la nan zòn nan nan nenpòt ki fòm jewometrik se kalkile zòn nan nan yon rektang, lè sa a gen prèv ki montre zòn li yo ki egal a pwodwi a nan longè a pa lajè a. Lè li rive Jewometri, lè sa a tout konstriksyon yo yo te fè lè l sèvi avèk yon règ ak konpa, ak Lè sa a rapò a nan longè a lajè se yon valè rasyonèl. Lè kalkile zòn nan nan yon triyang rektang ka detèmine ke si ou mete yon triyang kap vini an, se yon rektang fòme. Nan zòn nan nan paralelogram a yo kalkile nan yon metòd ki sanble men yon ti kras pi konplike, ki nan yon rektang ak yon triyang. Nan zòn nan nan yon poligòn ki konsidere kòm pa triyang enkli nan li.

Nan pou detèmine si gen pitye a nan abitrè, metòd sa a pa anfòm koub la. Si nou kraze li nan kare endividyèl, li ap rete kote vid. Nan ka sa a, eseye sèvi ak de rad, ak rektang pi wo a ak anba a, kòm yon rezilta nan sa yo gen ladan graf la nan fonksyon an epi yo pa gen ladan. Enpòtan isit la se yon fason yo kraze rektang sa yo. Epitou, si nou pran repo a pi plis ak plis redwi, zòn nan nan tèt la ak anba ta dwe konvèje sou yon valè sèten.

Li ta dwe retounen nan yon metòd pou separe an rektang. Gen de metòd popilè.

Riemann te ofisyèlman definisyon nan entegral nan, kreye pa Leibniz ak Newton, kòm zòn nan nan subgraph. Nan ka sa a, nou konsidere kòm yon figi ki fòme ak yon sèten kantite rektang vètikal jwenn lè yo divize entèval la. Lè kraze yon diminisyon gen yon limit nan ki zòn nan redwi tout moun ki tankou figi yon, se limit sa a yo rele entegral nan Riemann yon fonksyon nan yon entèval espesifye.

Yon metòd se dezyèm yo konstwi Lebesgue nan entegral, ki fòme nan lefèt ke an plas an nan separasyon deziyen zòn sou yon pati nan integrand la ak konpile Lè sa a, sòm total la entegral nan valè yo jwenn nan pati sa yo, nan entèval divize ranje li yo nan valè, ak Lè sa a adisyone ak mezi yo korespondan imaj envès nan entegral sa yo.

èd modèn

Youn nan benefis yo prensipal pou etid la nan différentielle Et kalkil matematik entegral Fikhtengol'ts te ekri - "nan diferans la ak kalkil matematik entegral." liv li, se yon yon zouti fondamantal pou etid la nan analiz matematik, ki resi kenbe tèt ak edisyon anpil ak tradiksyon nan lòt lang. Created pou elèv ak pou yon tan long yo itilize nan yon varyete de enstitisyon pou edikasyon kòm youn nan benefis ki genyen prensipal nan etid la. Li bay enfòmasyon teyorik ak ladrès pratik. Premye pibliye an 1948.

Algorithm fonksyon rechèch

Yo eksplore metòd yo nan fonksyon diferans kalkil matematik, ou bezwen swiv se deja bay algorithm:

1. Jwenn domèn nan fonksyon an.
2. Jwenn rasin yo nan ekwasyon an bay yo.
3. Kalkile ekstrèm yo. Pou fè sa, nou kalkile derive a ak pwen kote li ki egal a zewo.
4. Nou ranplase valè a jwenn nan Eq.

Variétés ekwasyon diferans

Kontwòl nan lòd nan premye (otreman, différentielle kalkil matematik nan yon varyab) ak kalite yo:

• Avèk varyab séparable ekwasyon: f (y) dy = g (x) DX.
• senp ekwasyon oswa diferans Fonksyon an kalkil matematik nan yon varyab, li te gen fòmil la: y '= f (x).
• lineyè premye lòd nonuniform kontwòl la: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli diferans ekwasyon: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Ekwasyon diferans manm ak: P (x, y) DX + K (x, y) dy = 0.

diferans ekwasyon yo nan lòd dezyèm ak kalite yo:

• Omojèn lineyè ekwasyon dezyèm lòd diferans ak ^{Koefisyan konstan: W N + d '+ qy} = 0 p, q fè pati R.
• Omojèn lineyè dezyèm lòd diferans ekwasyon ak Koefisyan konstan ^{valè: W N + d '+ qy} = f (x).
• Omojèn lineyè diferans ^{ekwasyon: W N + p (x)} y '+ q (x) y = 0, ak omojèn dezyèm lòd ^{ekwasyon: W N + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

ekwasyon diferans nan pi wo lòd ak kalite yo:

• ekwasyon an diferans, sa ki pèmèt rediksyon nan ^{lòd a: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Yon ekwasyon lineyè nan pi wo lòd ^{_{omojèn: y (n) + f (}} N- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, ak ^{_{omojèn: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Etap nan rezoud pwoblèm nan ak ekwasyon an diferans

Avèk yo èd nan kontwòl remote Rezoud pa sèlman matematik oswa pwoblèm fizik, men tou, pwoblèm sa yo divès kalite nan byoloji, ekonomi, sosyoloji ak lòt moun. Malgre varyete nan lajè nan sijè, ta dwe swiv yon sekans lojik sèl pou rezoud pwoblèm sa yo:

1. Desen moute kontwòl. Youn nan premye etap yo pi difisil, ki mande pou maksimòm presizyon, paske nenpòt ki erè ap mennen nan rezilta konplètman sa ki mal. Li nesesè pran nan kont tout faktè sa yo ki afekte pwosesis la ak detèmine kondisyon inisyal la. Li ta dwe tou dwe baze sou reyalite ak konklizyon lojik.
2. Pou rezoud ekwasyon. Pwosesis sa a se pi fasil nan pwen an premye, depi li mande pou sèlman strik aplikasyon nan kalkil matematik.
3. Analiz ak evalyasyon nan rezilta yo. Sòti solisyon yo ta dwe evalye pou enstalasyon an ki gen valè pratik ak teyorik nan rezilta a.

Yon egzanp nan itilize nan diferans ekwasyon nan medikaman

Lè l sèvi avèk kontwòl la aleka nan jaden an nan medikaman yo jwenn nan konstriksyon an nan epidemyoloji modèl matematik. Nou pa ta dwe bliye ke ekwasyon sa yo yo tou yo te jwenn nan byoloji ak chimi yo, ki se fèmen nan medikaman an, paske li jwe yon wòl enpòtan etid la nan popilasyon diferan byolojik ak pwosesis chimik nan kò imen an.

Nan egzanp sa a, ka a gaye epidemi nan enfeksyon dwe trete nan yon kominote izole. Moun ki rete yo divize an twa kalite:

• Enfekte, ki kantite x (t), ki fèt nan moun, transpòtè enfeksyon, chak nan ki se enfeksyon (peryòd enkubasyon se kout).
• Kalite a dezyèm gen ladan sansib moun y (t), yo ka enfekte lè yo antre an kontak avèk ki enfekte.
• Kalite a twazyèm an gen ladan moun REFRACTORY z (t) yo, ki se iminitè oswa ki pèdi akòz maladi.

Nimewo nan moun toujou ap, kenbe nesans, lanmò natirèl ak migrasyon se pa konsidere kòm. Nan nwayo a va gen de ipotèz.

maladi Pousantaj nan kèk pwen tan ki egal a x (t) y (t) (ki baze sipozisyon sou teyori a ke nimewo a nan ka nan pwopòsyon ak kantite entèseksyon ant pasyan ak manm reponn, ki nan premye apwoksimasyon se pwopòsyonèl avèk x (t) y (t)), nan se poutèt sa kantite ka ap ogmante, ak nimewo a nan diminye sansib nan yon pousantaj ki se kalkile nan rach la fòmil (t) y (t) (a> 0).

Nimewo nan bèt ki pa sekouris ki te mouri oswa akeri iminite, ogmante nan yon pousantaj ki se pwopòsyonèl ak kantite ka, bx (t) (b> 0).

Kòm yon rezilta, ou ka mete kanpe yon sistèm ekwasyon ak tout twa endikatè yo sou baz la nan konklizyon li yo.

sèvi ak egzanp ekonomi

se Diferansyèl kalkil matematik souvan yo itilize nan analiz ekonomik. Se travay la prensipal nan analiz ekonomik la konsidere yo dwe etid la nan valè yo nan ekonomi an, ki nou jwenn sa ekri nan fòm lan nan fonksyon an. Li se itilize nan rezoud pwoblèm tankou chanjman ki fèt nan ogmante taks sou revni imedyatman apre, frè antre, chanjman ki fèt nan revni lè w ap chanje valè a nan pwodwi a, nan sa ki ka pwopòsyon dwe ranplase pa pran retrèt anplwaye ak nouvo ekipman yo. Pou rezoud pwoblèm sa yo, li se oblije konstwi yon fonksyon kominikasyon nan varyab yo fèk ap rantre, ki, apre yo te fin etidye pa diferans kalkil matematik.

li se souvan nesesè yo jwenn pèfòmans nan pi optimal nan esfè a ekonomik: maksimòm pwodiktivite, revni ki pi wo, pi piti pwi yo ak sou sa. Chak eleman sa yo se yon fonksyon nan youn oswa plis agiman. Pou egzanp, ka pwodiksyon an dwe konsidere sa kòm yon fonksyon nan travay ak kapital la. Nan koneksyon sa a, jwenn yon valè apwopriye ka redwi a jwenn kantite maksimòm la oswa minimòm de yon fonksyon nan youn oswa plis varyab.

pwoblèm sa yo kreye yon klas nan pwoblèm extremal nan jaden an ekonomik, pou ki ou bezwen diferans kalkil matematik. Lè yo endikatè ekonomik la nesesè pou misyon pou minimize oswa maksimize kòm yon fonksyon nan paramèt lòt, rapò kantite fonksyon nan pwen maksimòm agiman yo pral gen tandans a zewo si kantite a nan agiman an gen tandans a zewo. Sinon, lè sa yo yon atitid gen tandans nan yon sèten valè pozitif oswa negatif, pwen an espesifye se pa apwopriye, paske lè yo ogmante oswa diminye agiman an ka chanje valè depann nan yon direksyon ki vle. Nan diferans tèminoloji kalkil matematik, sa a ta vle di ke kondisyon yo mande yo pou fonksyon maksimòm nan se yon valè zewo nan derive li yo.

Ekonomi an se pa estraòdinè pwoblèm pou jwenn extremum la nan yon fonksyon nan plizyè varyab, paske endikatè ekonomik yo te fè leve nan anpil faktè. pwoblèm sa yo byen konprann nan teyori a nan fonksyon nan varyab plizyè, metòd la nan kalkile diferans lan. pwoblèm sa yo gen ladan pa sèlman agrandi ak minimize fonksyon, men tou, limit. Kesyon sa yo gen rapò ak pwogram matematik, epi yo ap rezoud ak yo èd nan espesyalman devlope metòd baze tou sou branch sa a nan syans.

Pami metòd yo nan diferans kalkil matematik yo itilize nan ekonomi an, yon seksyon enpòtan an se tès la ultim. Nan esfè ekonomik la, tèm nan refere a yon seri metòd pou rechèch nan pèfòmans varyab ak rezilta lè ou chanje volim nan kreyasyon, konsomasyon an, ki baze sou yon analiz de valè limit yo. Limite endikasyon konsidere kòm derive oswa dérivés yo yon pati nan ak plizyè varyab.

Diferansyèl kalkil matematik nan plizyè varyab - yon sijè enpòtan nan analiz matematik. Pou yon etid an detay, ou ka itilize yon varyete de èd pou ansèyman pou pi wo enstitisyon edikasyon. Youn nan Fikhtengol'ts yo te kreye ki pi popilè - "nan diferans la ak kalkil matematik entegral." Ki kantite nan non an pou solisyon an nan ekwasyon diferans ki gen enpòtans konsiderab gen konpetans yo nan travay avèk entegral. Lè gen yon kalkil matematik diferans nan fonksyon nan yon varyab, desizyon an vin pi fasil. Malgre ke, li ta dwe remake, li swiv menm règ yo de baz yo. Nan pratik, li mennen envestigasyon fonksyon an nan kalkil matematik nan diferans, jis swiv algorithm nan ki egziste deja, ki se bay nan lekòl segondè, epi sèlman yon ti kras konplike ak entwodiksyon an nan varyab nouvo.