Diferans - ki sa ki sa a? Ki jan yo jwenn diferans nan nan fonksyon an?

Ansanm ak dérivés fonksyon yo diferans - li kèk nan konsèp debaz yo nan kalkil matematik nan diferans, seksyon prensipal la nan analiz matematik. Kòm endisosyableman lye, tou de peyi yo syèk plizyè lajman ki itilize nan rezoud prèske tout pwoblèm ki leve nan kou a nan aktivite syantifik ak teknik.

Aparisyon nan konsèp nan diferans

Pou la pwemye fwa te fè li klè ke tankou yon diferans, youn nan fondatè yo (ansanm ak Isaakom Nyutonom) diferans kalkil matematik pi popilè Alman matematisyen Gotfrid Vilgelm Leybnits. Anvan sa Matematisyen 17yèm syèk. itilize lide trè klè ak vag nan kèk infiniman "divize" nan nenpòt ki fonksyon li te ye, repwezantan yon piti anpil valè konstan, men se pa egal a zewo, anba a ki valè fonksyon an pa kapab tou senpleman. Pakonsekan li te sèlman yon sèl etap nan entwodiksyon de nosyon a ogmantasyon infiniman nan agiman fonksyon ak ogmantasyon respektif yo nan fonksyon yo ki ka eksprime an tèm de dérivés nan lèt la. Menm lè a, etap sa a pran prèske ansanm pi wo a de syantis yo gwo.

Baze sou bezwen an nan adrès ijan pratik mekanik pwoblèm ki konfwonte syans rapidman devlope endistri yo ak teknoloji, Newton ak Leibniz kreye fason yo komen nan jwenn fonksyon yo nan pousantaj la nan chanjman (sitou ki gen rapò ak vitès la mekanik nan kò a nan trajectoire la li te ye), ki te mennen nan entwodiksyon an nan konsèp sa yo, kòm fonksyon nan derive ak diferans lan, ak tou yo te jwenn algorithm envès solisyon yo yo te pwoblèm kòm li te ye se pou chak (varyab) vitès travèse jwenn chemen an ki te mennen nan konsèp nan entegral Ala.

Nan travay yo nan Leibniz ak Newton a lide premye li te parèt ke diferans yo - se pwopòsyonèl nan kantite a nan agiman debaz yo Δh ogmantasyon Δu fonksyon ki ka avèk siksè aplike nan kalkile valè a nan lèt la. Nan lòt mo, yo te dekouvri ke yon fonksyon kantite ki kapab a nenpòt ki pwen (nan domèn li yo nan definisyon) se eksprime nan li yo derive tou de Δu = y '(x) Δh + αΔh kote α Δh - rès, okipe a zewo kòm Δh → 0, anpil pi vit pase Δh a vrè.

Dapre fondatè yo nan analiz matematik, diferans yo - sa a se egzakteman premye tèm nan nan ogmantasyon nan nenpòt ki fonksyon. Menm san yo pa gen yon defini aklè sekans konsèp limit yo konprann entwitif ke valè a diferans nan derive a gen tandans fonksyone lè Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Kontrèman ak Newton, ki moun ki te sitou yon fizisyen ak aparèy matematik konsidere kòm yon zouti oksilyè pou etid la nan pwoblèm fizik, Leibniz peye pi plis atansyon sou sa a zouti, ki gen ladan yon sistèm nan senbòl vizyèl ak konpreyansib valè matematik. Li te li menm ki pwopoze notasyon a estanda nan diferans fonksyon dy = y '(x) DX, DX, ak derive nan fonksyon an agiman kòm relasyon y yo' (x) = dy / DX.

Definisyon an modèn

Ki sa ki se diferans lan an tèm de matematik modèn? Li se pre relasyon ak konsèp nan yon kantite varyab. Si varyab la y pran se yon valè premye a y y = _1, Lè sa a, y = y _2, se y la diferans ₂ ─ y ₁ rele valè enkreman y la. enkreman a kapab pozitif. negatif ak zewo. se mo "enkreman nan" deziyen Δ, Δu anrejistreman (lire 'delta y') vle di valè a nan y enkreman. se konsa Δu = y ₂ ─ y _1.

Si pouvwa valè Δu abitrè fonksyon y = f (x) dwe reprezante kòm Δu = Yon Δh + α, kote A se pa gen okenn depandans sou Δh, t. E. A = konstitisyon pou x yo bay la, ak α an tèm lè Δh → 0 gen tandans fè li se menm pi vit pase Δh aktyèl la, lè sa a, premye ( "mèt la") yon tèm pwopòsyonèl Δh, epi ki se pou y = f (x) diferans, deziye dy oswa df (x) (lire "y de", "de Dispense soti nan X"). Se poutèt sa diferans - yon "prensipal" lineyè ki gen rapò ak eleman yo nan ogmantasyon fonksyon Δh.

mekanik eksplikasyon

Se pou la = f (t) - distans la nan yon liy dwat k ap deplase pwen materyèl nan pozisyon inisyal la (t - tan vwayaj). Enkreman Δs - se pwen an fason pandan yon entèval tan Δt, ak DS la diferans = f '(t) Δt - chemen sa a, ki pwen ta dwe ki te fèt pou menm tan an Δt, si li kenbe vitès f la (t), rive nan nan moman t . Lè yon infiniman Δt ds imajinè chemen diferan de Δs yo reyèl infinitesimally gen yon lòd ki pi wo ki gen rapò ak Δt. Si vitès la nan t la tan se pa egal a zewo, valè DS la apwoksimatif bay ti pwen patipri.

jewometrik entèpretasyon

Se pou L liy se chema y = f (x). Lè sa a, Δ x = MQ, Δu = km '(wè. Figi anba a). Tangent MN kraze Δu koupe an de pati, Kn ak NM '. Premye ak Δh se pwopòsyonèl Kn = MQ yo ∙ ge (ang QMN) = Δh f '(x), t. E Kn se dy diferans.

Pati nan dezyèm nan diferans ki genyen Δu NM'daet ─ dy, lè Δh → 0 NM longè 'diminye menm pi vit pase kantite a nan agiman an, sa vle di li gen lòd la petites pi wo pase Δh. Nan ka sa a, si f '(x) ≠ 0 (ki pa paralèl tanjant OX) segments QM'i Kn ekivalan; nan lòt mo NM 'diminye rapidman (lòd nan petites nan pi wo li yo) pase manm enkreman Δu = km a'. Sa a se evidan nan Figi (apwoche segman M'k M NM'sostavlyaet tout pi piti pousantaj segman km ').

Se konsa, grafikman diferans abitrè fonksyon ki egal a kantite a nan ordinate la nan tanjant a.

Derive ak diferans

Yon faktè nan premye tèm nan nan fonksyon ekspresyon kantite ki egal a valè a nan f derive li yo '(x). Se konsa, apre relasyon - dy = f la (x) Δh oswa df (x) = f '(x) Δh.

Li konnen sa kantite a nan agiman an endepandan ki egal a diferans Δh = DX li yo. An konsekans, nou ka ekri: f '(x) DX = dy.

Jwenn (pafwa di ke yo dwe "desizyon an") diferans se fèt pa règ yo menm jan ak pou dérivés yo. Yon lis nan yo bay anba a.

Ki sa ki se pi plis inivèsèl: enkreman nan agiman an oswa diferans li yo

Isit la li nesesè fè kèk CLARIFIKASYON. Reprezantasyon valè f '(x) diferans Δh posib lè w ap konsidere x kòm yon agiman. Men, fonksyon an kapab yon konplèks, nan ki x kapab yon fonksyon nan t la agiman. Lè sa a, reprezantasyon an nan ekspresyon an diferans nan f '(x) Δh, tankou yon règ, li enposib; eksepte nan ka a nan depandans lineyè x = a + b.

Kòm nan fòmil f la (x) DX = dy, lè sa a nan ka a nan x agiman endepandan (Lè sa a, DX = Δh) nan ka a nan depandans la paramètrik nan x t, li se diferans.

Pou egzanp, ekspresyon 2 x Δh a se pou y = x ² diferans li yo lè x se yon agiman. Nou kounye a x = t ² ak asime t agiman. Lè sa a, y = x ² = t ^4.

Sa a se ki te swiv pa (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Pakonsekan Δh = 2tΔt + Δt ^2. Pakonsekan: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

ekspresyon Sa a se pa pwopòsyonèl nan Δt, se poutèt sa se kounye a 2xΔh pa diferans. Ou ka jwenn li soti nan ekwasyon y = x ² = t ^4. Li se egal dy = 4t ³ Δt.

Si nou pran 2xdx nan ekspresyon, li se y diferans = x ² pou nenpòt ki t agiman. Vreman vre, lè x = t ² jwenn DX = 2tΔt.

Se konsa, 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. diferans yo ekspresyon anrejistre pa de varyab diferan kowenside.

Ranplase ogmantasyon diferans

Si f '(x) ≠ 0, Lè sa a, Δu ak ekivalan dy (lè Δh → 0); si f '(x) = 0 (siyifikasyon ak dy = 0), yo menm yo pa ekivalan.

Pou egzanp, si y = x ^2, lè sa a Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² ak dy = 2xΔh. Si x = 3, lè sa a nou gen Δu = 6Δh + Δh ² ak dy = 6Δh ki ekivalan akòz Δh ² → 0, lè x = 0 valè Δu = Δh ² ak dy = 0 yo pa ekivalan.

Reyalite sa a, ansanm ak estrikti nan senp nan diferans lan (m. E. Linearity ki gen rapò ak Δh), se souvan yo itilize nan kalkil apwoksimatif, sou sipozisyon an ki Δu ≈ dy pou ti Δh. Jwenn fonksyon an diferans se nòmalman pi fasil pase yo kalkile valè a egzak nan kantite a.

Pou egzanp, nou gen kib metalik ak dènye x = 10.00 cm. Sou chofaj kwen an lontan sou Δh = 0.001 cm. Ki jan ogmante volim kib V? Nou gen V = x ^2, se konsa ke DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ Fevriye ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Ogmantasyon ΔV ekivalan diferans DV, se konsa ke ΔV = 3 cm ^3. Tout kalkil ta bay ³ ΔV = 10,01 ─ mas ¹⁰ = 3.003001. Men, rezilta a nan tout chif eksepte premye enfidèl la; Se poutèt sa, li se toujou nesesè yo wonn moute nan 3 cm ^3.

Li evidan, apwòch sa a se itil sèlman si li se posib yo estime valè a done ak erè.

Diferansyèl fonksyon: egzanp

Se pou yo eseye jwenn diferans nan nan fonksyon y = x ^3, jwenn derive nan. Se pou nou bay agiman kantite Δu a ak defini.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Isit la, koyefisyan A = 3x ² pa depann de Δh, se konsa ke premye tèm nan se pwopòsyonèl Δh, manm nan lòt 3xΔh Δh ² + ³ lè Δh → 0 diminye pi vit pase kantite a nan agiman an. Kontinwe, yon manm nan 3x ² Δh se diferans lan nan y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² Dx oswa d (x ³⁾ = 3x ² Dx.

Sa fè d (x ³⁾ / DX = 3x ^2.

Dy Nou kounye a jwenn fonksyon y = 1 / pa derive nan x. Lè sa a, d (1 / x) / DX = ─1 / x ^2. Se poutèt sa dy = ─ Δh / x ^2.

Diferans debaz fonksyon aljebrik yo bay anba a.

kalkil apwoksimatif lè l sèvi avèk diferans

Pou evalye fonksyon f (x), ak derive li yo f '(x) nan x = yon se souvan difisil, men yo fè menm bagay la nan vwazinaj la nan x = yon se pa fasil. Lè sa a, vini nan èd la nan ekspresyon ki genyen

f (yon + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Sa a bay yon valè apwoksimatif nan fonksyon an nan ogmantasyon ti a diferans li yo Δh f '(a) Δh.

Se poutèt sa, fòmil sa a bay yon ekspresyon apwoksimatif pou fonksyon an nan pwen an nan fen yon pòsyon nan yon longè Δh kòm yon sòm de valè li yo nan pwen an kòmanse nan pòsyon an (x = a) ak diferans lan nan pwen nan menm kòmanse. Presizyon nan metòd la pou detèmine valè yo nan fonksyon ki anba a montre desen an.

Sepandan li te ye ak ekspresyon an egzak pou valè a nan fonksyon an x = yon + Δh yo bay nan fòmil ogmantasyon fini (oswa, altènativman, fòmil Lagrange a)

f (yon + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

kote pwen x = a + yon ξ se nan entèval an soti nan x = A jiska x = yon + Δh, byenke pozisyon egzak li yo se enkoni. Fòmil la egzak pèmèt yo evalye erè a nan fòmil la apwoksimatif. Si nou mete nan fòmil Lagrange ξ la = Δh / 2, byenke li sispann yo dwe egzat, men li bay, tankou yon règ, yon apwòch pi bon pase ekspresyon orijinal la an tèm de diferans lan.

fòmil Evalyasyon erè pa aplike diferans

Mezire enstriman mizik , nan prensip, kòrèk, epi pote nan done yo mezi ki koresponn a erè a. Yo karakterize pa limite erè a absoli, oswa, nan kout, erè a limit - pozitif, byen klè depase erè a nan valè absoli (oswa nan pifò egal a li). Limite erè relatif la yo rele kosyan yo jwenn lan pou lè yo divize li pa valè a absoli nan valè a mezire.

Se pou egzak fòmil y = f (x) fonksyon itilize yo vychislyaeniya y, men valè a nan x se rezilta nan mezi, ak Se poutèt sa pote erè a y. Lè sa a, jwenn limite absoli erè │Δu│funktsii y la, lè l sèvi avèk fòmil la

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

kote │Δh│yavlyaetsya majinal erè agiman. dwe │Δu│ kantite dwe awondi egal, kòm kòrèk kalkil tèt li se ranplasman nan kantite a sou kalkil la diferans.